Page 14 - Constants

Dimensió fractal

En geometria de fractals, la dimensió fractal D és una quantitat estadística que
dona una idea de quant completament sembla omplir un fractal l'espai a mesura
que s'amplia el primer cap a escales més i més fines. Hi ha moltes definicions
específiques de dimensions fractals i cap no hauria de ser tractada com a
universal. Des d'un punt de vista teòric, les més importants són la dimensió de
Hausdorff, la dimensió d'empaquetament i, de forma més general, les dimensions
de Rényi. D'altra banda, la dimensió de compte de caixes i la dimensió de
correlació són àmpliament usades en la pràctica, en part per la seua fàcil
implementació.

Encara que, per a alguns fractals clàssics, totes aquestes dimensions coincideixen,
en general no són equivalents. Per exemple, la dimensió del floc de neu de Koch té
una dimensió topològica d'un, però no pot ser tractada com una corba; la longitud
entre qualssevol dos punts en el fractal és infinita. Cap segment del fractal és
semblant a una línia, però tampoc és semblant a una part d'un plànol. En certa
manera, es podria dir que és massa gran per a poder ser considerada com un
objecte unidimensional, però és massa fina per a ser considerada un objecte
bidimensional. Açò du a la pregunta de si la seua dimensió es descriu millor amb
un nombre entre un i dos. Aquesta és una manera simple de motivar la idea de
dimensió fractal.

A una estructura fractal, es pot obtenir la seua dimensió (més o menys la dimensió

de Hausdorff) com un nombre no sencer,

en què és el nombre d'estructures autosimilars de costat lineal que es
necessiten per a cobrir tota l'estructura.