Page 24 - FitxesMatSols

( ) és certa! = = 3 + = +
>AB

ℕ⁄ ) · (2) + 1) · (2) − 1) 3 + (2) + 1) , = (2) + 1) · 2) , + 5) + 3 = = () + 1) · (2) + 3) · (2) + 1) 3
>AB
1 − = A = −
>A, 1 −
1
∈ 1 − − −
>AB =
=
= = · (0 · + ) · (0 · − ) - Suposant que la igualtat és certa per , hem de demostrar que + ⋯ + (0 − ) 0 · (0 + ) · (0 − ) + (2) + 1) ,
> + ⋯ + ( − ) · ( + ) − Suposant que la igualtat és certa per , hem de demostrar que =
>AB (1 −
) · 1 −
−
>A,
ℕ. És suficient considerar + ⋯ + (2) − 1) , + 5 , = = 0 + 2 0 + - 0 - = (2) + 1) 6 ) · (2) − 1) + (2) + 1)7 3 = (2) + 1) · () + 1) · (2) + 3) 3 ℝ, ≠ +
,
1 + = − 0 = = − + + ⋯ + + 1 −
>AB =
>AB +
>AB 1 −
1 −

∈ Exemple 5 ∀ ≥ + 3 , Demostració La igualtat és certa per és certa per ( + ) 0 = Exemple 10 ∀ ∈ Demostració La igualtat és certa per + és certa per ( + ) + 0 + =
∀ 1 ,

) · () + 1) · () + 2) 3 = () + 1) · () + 2) · () + 3) 3 = = = () + 1) · () + 2) · (2) + 3) 6
=
= = · ( + ) · ( + 0) - Suposant que la igualtat és certa per , hem de demostrar · 0 + 0 · - + - · 1 + ⋯ · ( + ) + () + 1) · () + 2) · ( + ) · ( + 0) + () + 1) · () + 2) = 3 ) · () + 1) · (2) + 1) = + ⋯ + ) , 6 = · ( + ) · (0 · + ) . Suposant que la igualtat és certa per , hem de demostrar + () + 1) , + ⋯ + 0 · ( + ) · (0 + ) + () + 1) , . () + 1) · 6 ) · (2) + 1) + () + 1)7 6
Principi d’inducció matemàtica ℕ . Podem utilitzar el principi d’inducció per demostrar una proposició de la forma ( ), Exemple 4 ∀ ≥ ⟶ 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ⋯ + ) · () + 1) Demostració La igualtat és certa per = · 0 que és certa per ( + ) = = - () + 1) · () + 2) · 4 ) + 15 = = Exemple 9 ∀ ≥ + 3 , + 2 , 1 , Demostració La igualtat és certa per = 0 que és certa per ( + ) + -

= Exemple 3 ∀ ≥ - − = . / ) , ( − ) · · ( + ) = . / () + 1) , = . / = 8 + 3) + 1 − ) − 1 = + 3) + 2) ) · () , > 0 Exemple 8 ∀ 1 + ? · ) ≥ (1 + ?) > 2 2 0 = 2 · 0 > () + 1) , = + 2) + 1 + · ( + ) · (1 + ?) ≥ 1 + ? + ? · ) + ? , 1 + ? · () + 1)
= = 0 Suposant que la igualtat és certa per , hem de = = Suposant que la igualtat és certa per , hem de + 3) , ) · () + 1) · () + 2) = > Suposant que la igualtat és certa per , hem de = ≥ Suposant que la igualtat és certa per , hem de =
⟹ = + - + 2 + 3 + ⋯ + (0 − ) + (2) + 1) + 2) + 1 ) 9 = 0 2 2 · 0 =
- − = + 2) = ) , ( + ) =
∈ demostrar que és certa per ( + ) 0 demostrar que és certa per ( + ) ) , demostrar que és certa per ( + ) 2 >AB > demostrar que és certa per ( + ) 1 + ? + ? · )
( + ) Exemple 2 ∀ ≥ 1 + 3 + 5 + ⋯ (2) − 1) La igualtat és certa per = La igualtat és certa per − () + 1) + 3) , = Exemple 7 ∀ > 4 > 2 > La igualtat és certa per + ) , ) , La igualtat és certa per (1 + ?) >AB ( + · ) · (1 + ?) ≥

⟶ Demostració ) 9 = Demostració =
() + 1) 9
∈ ∈ ≥

), de = de =
> hem hem ,
ℝ ( , = , , = + 4) + 4) (1 + 2 + ⋯ + )) ,
∈ () + 1) · ) 2 () + 1) · ) + 2 · () + 1) 2 < ) · () + 1) = 2 = 4
∀ = per certa = 0 per certa + () + 1) 9 + () + 1) 9 () + 1) , () , 6 () + 1) · () + 2) 7 2 =
ℕ amb les propietats: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ ) = ( + ) · = 0 és igualtat + 0 + - + 1 + 2 + ⋯ + () + 1) = () + 1) · () + 2) = 2 + ⋯ + ) 9 = 6 · ( + ) 7 = 0 és igualtat + ⋯ + - + - - 0 6 · ( + ) 7 0 = + () + 1)7 · () + 2) , = + ⋯ + ) 9 + 2 9

⊆ Exemple 1 ∀ ≥ La igualtat és certa per la que demostrar que és certa per ( + ) ( + ) · + () + 1) 0 Exemple 6 ∀ ≥ + 3 9 + 2 9 1 9 La igualtat és certa per la que demostrar que és certa per ( + ) + 0 - - = () + 1) , 6 ) , 4 () + 1) , 4 Per tant, també 1 9

∑EF Enunciat Siga Demostració Suposant = Demostració Suposant = =