Page 17 - FitxesMatSols

= $ ∈ = K O ∈

A

:

OP :

∈
Sistema de referència canònic. Els punts $ 0,0,0 , " 1,0,0 , # 0,1,0 i 0,0,1 formen un sistema de referència ortonormal de l’espai .

= $ # , % ∈ , origen ' i extrem ). # # Recta que passa per dos punts N O ≡ ;

A Secants : : ⟶ T ≡ \V ∈

= $ " , % # és: + ', ) = , - ./ - , , 0 ./ 0 , , 1 ./ 1 ∈ # : ∈ ⟶ N O ≡ ∈ P Y, ?, ? ?, ?, [ J ≡ N O ∈ j; V ∈

T ≡ i c ≡ N P ∈ : A ∈

h

Definició d’espai afí. Anomenem espai afí associat al conjunt de vectors , a: . Els seus elements els anomenem punts i els Sistema de referència. Direm que els punts $, " , # , formen un sistema de referència de l’espai si els vectors % "
= * " − ( " , * # − ( # , * − ( K B : ; K C = Equació segmentària < + = + > = B ⟶ \ ?, Z, ? : ]Y^^ Y_Z `a<bc [ Z Equació normal I √H C + I C + J C < + √H C + I C + J C = + √H C + I C + J C > = √H C + I C + J C Pla determinat per dues rectes ∈ O : ⟶ T ≡ \ V ∈ :

A = OP

Feix de plans paral·lels p = ' + )4 + L5 E ∈ q bl q vector de tenen H, I, J

són ortogonals i unitaris, el sistema de referència es diu ortonormal.

=
Punt mitjà d’un segment. El punt mitjà del segment definit pels punts ' ( " , ( # , ( , ) * " , * # , * ∈

Equacions implícites H B < + I B = + J B > H C < + I C = + J C > = ' " , ) " , L " ∧ ' # , ) # , L # Y Paral·leles : V ∈ V ∈ ≡ Tots els plans que són paral·lels a Q, = tots = A T
⟶ ') ≡ N O ∈

H< + I= + J> perquè associat (normal al pla):
F H j; T ≡ i c ≡ N P ∈ : Donat el pla Q són de la forma:
≡ h així
; És

> − > ? = A ? ≠ E conté a la recta ;.
Equació contínua = − = ? = A C ?; A ≠ ?; A C

= 0 on e , 4, 5 . = ?

, % Vector que uneix dos punts. Donats el punts ' ( " , ( # , ( , ) * " , * # , * ∈ < − < ? A B ≠ A B = K

= H, I, J és perpendicular al pla Q. S’anomena vector

≡ e · d ∈ \V :

OP = pla < ? + UV B + WA B , = ? + UV C + WA C , > ? + UV + WA = ? bl q ∈

, % # ≡ ; E ∈ Equació implícita > − > ? V X = ? A T ≡ H < − < ? + I = − = ? + J > − > ? Pla determinat per una recta i un punt exterior a aquesta P

≡ T ⟶

A = p " : . Qualsevol pla de la forma:
∈ li correspon un únic són base de . Si els vectors % " =

∈ = 0 ∀ , , < F= ≡ ; E ∈ > < − < ? V B X ∈ E A B El vector d P \ ; ≡ T recta < ? + @A B , = ? + @A C , > ? + @A ' " + ) " 4 + L " 5 ≡ F Donada la recta 2 ' # + ) # 4 + L # 5 T ≡ H B < + I B = + J B > − K B + q H C < + I C = + J C > − K C

Espai afí Recta afí Equació paramètrica < ? + @A B : @ + @A C = ? = > ? + @A = Pla afí = − = ? V C A C desenvolupant, tenim: H< + I= + J> associat al pla Q. L’equació de Q és: Q ∈ : : ∈ N O ≡ ∈ V

Punt genèric Feix de plans secants = p #

=

⟶ , on a cada parell de punts ,

∕ ∈ ∃ ú ∈ ∀

= " # • + +

⟶ " # Equació vectorial < ? , = ? , > ? + @ A B , A C , A ; @ <, =, > = ≡ Equació vectorial = < ? , = ? , > ? + U V B , V C , V + W A B , A C , A U, W Equació paramètrica < = < ? + UV B + WA B E T ≡ F= = = ? + UV C + WA C : U,

∈
O

= • ∀ ∈

= # # ∈ •! " " queda 2, recta " , # , . ; T ≡ <, =, > O FP ≡ T E Incidència punt-recta
− 809 : B = Incidència punt-pla
− 809 RS : C
denotem amb majúscules. A més, existeix una aplicació :
vector anomenat . Aquesta aplicació acompleix els axiomes:

Una seus " , # , ∈ ∈

∈ ∈

=

1. =
− 809 : pels i
− 809 RS : 7 ≡

;YlmnA, OPo ⟷ les coordenades de P acompleixen les equacions de ; 7 ,
;YlmnV, A, OPo

⟷ les coordenades de P acompleixen l’equació de T

⟶ +

= − ∀ , dimensió perfectament determinada per un punt 3 , 4 3 , 5 3 , per ∈ passa, =
∈ ∈ Condició perquè tres punts no estiguen alineats ⟷ ≡

∈

de 7 ≡ ∈ Subespai afí d’ de dimensió 2. Una pla Q, queda perfectament determinat per un punt on 7 ,
i la recta 2 ; ∈ i el pla Q ⟷ T
• ∀ , , ∈ afí vectors directors que són LI " , # , . H, I, J no estan aliniats sii

HI a HJ són LI. Estudi per equacions ∈ P Estudi per equacions

Propietats que es deriven de la definició: • d’ on passa, i pel seu vector director 2 per ≡ Q ∈ P ∈

∑As

= 0 ∀ Definició. Subespai Definició. 3 ,4 3 , 5 3 , =

Donat el punt Estudi vectorial ; ∈ Siga el punt Estudi vectorial T ∈

• i P P