Page 4 - FitxesMatSols

· = −2 1 K / u
· −1 0 = "−1 −2 −2" 0 = J / … / t ⋯ :
− El determinant d’una matriu i el de la seua transposada són iguals. | , | = | | 2 −1 ∈ M nxn és regular ↔ | | ≠ 0 ∈ M nxn és singular ↔ | | = 0 Rang d’una matriu De tots els subdeterminants diferents de zero que podem extraure de la matriu, considerem el de major ordre (1G1). H=CI <
g

j^
. _ae0 ó ú 0 . K g] ] l

j^
. ] m
X X_ae0 _ X. … … ⋯ o r r

· −1 0" 1 ≠ y. Solució: N ? N A : N C ⋯ SCI infinites solucions. ~ = C − J
· −1 2 0 −2 −2 −1 Matriu regular Matriu singular Siga ∈ M mxn = ?M .. .. = AA = AM z z = A? = MA = MM .. N M z z : : .. = CM |<| q = p ⋯ SCD solució única
− P6 " \ ] X
^ ] 0_^` /a

. c_ é X_ae0 ó. = ?A = ?? = M? : = CA = C? = SI Sistema Incompatible. No té solució.
− · · −2 2" 1 ∈ M nxn → , ... , L C = H=CI <
on | és la matriu ampliada; | { = J = C { = J <

· Si intercanviem d’ordre dues línies paral·leles d’un 3 1 1 3 −2 −3 ∈ 2 , 4 | · 4| = | | · |4| |1 · 4| = 1 · |4| 1 6 7 6 = | | 5 Matriu inversa ∈ M nxn és regular ↔ | | ≠ 0 ? = |<| · < E
F < 5? Tipus de sistemes segons la solució [ g X
^ g_^` /a

. hé X_ae0 ó i = w és de Cramer ⟷ té n equacions, n incògnites i |<| = ?C .. = ?M N ? = ?? = AC .. = AM N A = M? z z = A? N M = MM
· · + · determinant, el determinant canvia de signe. 2 1 3 " 3 −2" = − " 1 1 −2 −3 1 P11-12-13-14 1 | 5 | = | | Si té inversa i: R R Z = ?C = AC : = CC = , L A H=CI <
= J H=CI <
{

Àlgebra. Determinants. Sistemes d’equacions lineals.

+ · · P5 dos de suma a com sumands, el determinant és igual a la suma de ′ " / + /′ " = " / " + " /′ " 0 0′ Desenvolupament d’un determinant = ∈ M nxn , es pot demostrar que: = = >? · ∆ >? + = >A · ∆ >A + ⋯ + = >C · ∆ >C (fila i) = = ?D · ∆ ?D + = AD · ∆ AD + ⋯ + = CD · ∆ CD (columna j) ↔ al substitu

Determinant d’una matriu quadrada Ordre 3x3 (Regla de Sarrus) = " " · − Propietats dels determinants P4 Les línies paral·leles d’un determinant són LD ↔ el determinant val 0. −2 −1 1 "3 −1 −2" = 0 −4 −2 4 P10 s’expressa línia una Si la de elements dos determinants, tal com s’indica: + ′ 0 + 0′ Si matriu |<

· = Si dues línies paral·leles d’un determinant són proporcionals, el determinant val 0. −5 −1 2 = 0 " 1 −3 −4" 10 2 −4 El determinant d’una matriu triangular és dels producte −4 −3 −5 = 15 0 −3 −4" 1 0 0 Matriu adjunta definim M nxn , de la matriu de resulta Solució d’un sistema = X , G = X , G Sistemes equivalents El sistema pot expressar-se matricialment de la següen
Ordre 1x1 | | = Ordre 2x2 al diagonal principal. " = ∈ que element pel seu adjunt. Direm que G … … t ⋯

adjunta matriu o r r r … r s ⋯
P3 P9 igual ⋯ … u … t
0" = −4 2 Si definim a: Expressió matricial d’un sistema q p ⋯ Matriu del coeficients … q ⋯ ⋯ ⋯ o r r r … r s
Si dues línies paral·leles d’un determinant són iguals, el determinant val 0. −4 −3 2 = 0 2 −3 −4" " 3 2 −1 Si multipliquem una línia d’un determinant per un número real, el determinant queda multiplicat per aquest número. −2 −1 2 −1 −1 0 −2 0" = −2 → " 0 −2 −2 −1 1 −2 Adjunt d’un element M nxn , = ∈ Si l’element de adjunt △ = −1
; · 9 . ∈ W coeficients del sist

= ∈ M nxn , definim determinant de la matriu a: −1

·
·
·
···
∈
On és una permutació d’ elements i
és la seua signatura (nombre d’inversions de ) P2 Si una línia d’un determinant és el vector −4 0 3 = 0 = 0, també "0 1" 4 3 −2 0 P8 Si substituïm una línia d’un determinant per ella mateix, més una CL de les seues 2 −4 −3 5 " 0" = 11

∑‚ Definició

= | | = 0, el determinant val 0. −4 −3 2 0" 0 0 3 2 paral·leles, el determinat no varia. −4 −3 5 " 1 0 3 2 −1 = ∈ columna “j”. Sistema d’equacions Mètode de Gauss equivalent al primer. equivalent al primer. forma 0 = 1 _ 1 tantes ha hi Si

Si P1 %& " −1 P7 Si K · · · ·