Page 7 - FitxesMatSols

· ( = - ,(1 + = ,- ,(1 + =
0,-. (1 + =
0,/
(1 + =
0,- ,(1 + G + = 2/ / = 2 (/ ( − 1 /, ja immediata

0
1 =(
G + H F
= - ,(1 · /
(1 · 1 · − ,- ,(1 · ,/
(1 · 1 · 1 √1 − 1 ( · 1 · 1 · 1 + 1 ( · 1 1 1√1 ( − 1 · 1 · = /
(1 + = ,/
(1 + < 6( té arrels reals simples, multiples i arrels complexes simples H F Integració de funcions irracionals I O , PQ( R · 4 Es transformen en trigonomètriques--racionals fent els canvis adequats = 2/ / → S ( → = T U V" 2/ / T O , P1 − ( R
( ± ( · ( = − 1 + ,/
( (1
· 1 · =( = ( − " · ( − ( … ( − · ( − E F · (
( + + , . La descomposició és: ;( = − " + − ( + ⋯ + − + − E + ⋯ + ( − E F +
( + + , H " C Calculem C " , … , C , H " … , H F , G, D’aquesta forma, l’integral és suma d’integrals immediates: H " C ;( = − " + ⋯ + − + −

+ = 1 + /
( (1
· 1 · = -. (/ o = /
(/ = - ,(/
∈ = √1 + =
2 = -. (1 + = ,$-(1 + Canvi evident S(
Integral indefinida ( + on = = 1 2√1 · 1 · = 2 + · 2 · 1 · 1 · ' (
·
2 ,$-(1 · 1 · − -. (1 · 1 · = - , ( (1 · 1 · · = −,- , ( (1 · 1 ( · + @(+ · on ( és el quocient i ( el residu de la divisió i 0
1 (
C ( C " =( C " =( Canvi Canvi Canvi 1 = 1 + / ( 2/ /
( = 1 − / (

≠ −1 1 ,$- ( (1 · 1 · −1 -. ( (1 · 1 · S’aplica pel producte d’una funció per la derivada de l’altra. El procediment pot ser reiteratiu, la segona integral ha de ser igual o més senzilla que la primera. 0
1 6(
< tipus de integral − / = √1 − / ( / = √1 − / ( 1 ,$- ( = √1 + / ( ,$-( = 1 − / ( 1 + / (

Càlcul integral El conjunt de totes les primitives de ( es denota per: ( La integral indefinida és lineal: ( ± (
( = = + = 1( + 1 !" = + 1 + $ 1 · 1 · = ' (1 + 1 = 1 + −1 · 1 · 6( ?(+ 789 6(
= A. Arrels complexes simples G +
( + + , d’una suma com logarítmica + una de tipus arctangent. "!XYZ ((+ (

Taula de primitives. 1 ( · 1 · 1 · 1 1 ( Integració de funcions racionals 5( 4 on 789 5(
= descompon Es 4 · "VXYZ ((+ i ,$- ( ( = = -. ( · ,$- WV" ( · cos( que es transforma en suma d’integrals de la forma -. F ( · cos( = √1 − / ( -. ( ,$-( = P1 − / ( / -. ( = √1 + / ( 2/ -. ( = 1 + / (

= - ,( + = ,- ,( + =
0,-. ( + =
0,/
( + =
0,- ,( + ?(+ C F = ( Canvi ,$-( = / -. ( = / /
( = / tan O R = / 2

= 1 -. (C + H + -. (C − H
= 1 ,$-(C + H + ,$-(C − H
-. (C · -. (H = 1 ,$-(C − H − ,$-(C + H
∈ - ,( · /
( · − ,- ,( · ,/
( · = ,/
( + C F Integració de funcions trigonomètriques I(JKL , MNJ 2 2 = -. ( , ,$-(
( on 1 √1 − ( · 1 1 + ( · 1 √ ( − 1 · = /
( + 6( sols té arrels reals múltiples Calculem C " , C ( , … , C L’integral és suma d’integrals immediates: C ( ;( = − E + ( − E ( + ⋯ + ( − F F 2 = − -. ( , ,$-(
. 2 / = 1 + / (

= 0
1 =(
, es fa la divisió polinòmica ;( entre =( i queda: >(+ =( = ( − E F . La descomposició és: ;( = − E + ( − E ( + ⋯ + ( − E F C ( -. (C · ,$-(H ,$-(C · ,$-(H

,
∈ ( = + = ,$-( + = 1 + /
( (
· = − 1 + ,/
( (
· · 4 · 3 − 3 · C " =( C " =( Si G i són parells, aplicarem reiteradament les transformacions : -. ( ( és imparell en -. ( ; −-. ( , ,$-(
= − -. ( , ,$-(
.
Primitiva d’una funció ( ∀ = ( ↔ 1 = √ + 2√ · + = + + · =
+ · ' (
·
+ = -. ( + ,$-( · − -. ( · = - , ( ( · = −,- , ( ( · = · 4 · 3 ≥ C Transformació de producte a suma Si [ ( o ) és imparell. -. ( · ,$- W ( és imparell en ,$-( ; -. ( , −,$-(
parell en -. ( ,$-( ; − -. ( , −,$-(
Cap del tipus anteriors i també per a tote

( ) és una primitiva de (
,
Si ( té primitiva → ( té infinites primitives. ( +
= ( + !" ≠ −1 = + 1 + $ = ' ( + = 1 + 1 ,$- ( ( · −1 -. ( ( · Integració per parts Si 0
1 ;(
6( sols té arrels reals simples =( = ( − " · ( − ( … ( − . La descomposició és: ;( = − " + − ( + ⋯ + − C C ( Calculem C " , C ( , … , C L’integral és suma d’i

∑3I = + ( · · 1 · −1 · ( C " =( =( -. (C